Cosinus et sinus de 5pi/12 - Corrigé

Énoncé

Soit \(z_1=\sqrt{3}+i\sqrt{3}\) , \(z_2=\sqrt{6}-\sqrt{2}i\) et \(Z=\dfrac{z_1}{z_2}\) .

1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique de \(Z\) .

2. En déduire que \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) et que \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) .

3. En utilisant ce qui précède et la formule d'addition (donnant \(\cos(a+b)\) pour \(a\) et \(b\) réels), résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \((\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cos(x) -(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin(x) =-2\sqrt{3}\) .

Solution

1. On a : \(\begin{align*}Z=\frac{z_1}{z_2}& =\frac{\sqrt{3}+i\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}i} \times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}= \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}i +i \sqrt{18} - \sqrt{6} }{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2}= \frac{-\sqrt{6}+3\sqrt{2}+i(\sqrt{6}+3\sqrt{2})}{8}\end{align*}\)

donc \(Z= \dfrac{-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8} + i \dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8}\) .

Et  \(z_1 = \sqrt{3} (1+i) = \sqrt{3} \sqrt{2}\text e^{-\frac{i\pi}{4}} = \sqrt{6} \text e^{\frac{i\pi}{4}}\) .
Et  \(z_2 = \sqrt{6}-\sqrt{2}i= 2 \sqrt{2} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \right)= 2 \sqrt{2}\text e^{\frac{-i\pi}{6}}\) .
donc on a :   \(\begin{align*}Z=\frac{z_1}{z_2}& = \frac{ \sqrt{6} \text e^{\frac{i\pi}{4}} } {2 \sqrt{2}\text e^{\frac{-i\pi}{6}}}= \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}} \text e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)}= \frac{\sqrt{3}}{2} \text e^{\frac{5i\pi}{12}}\end{align*}\)
donc \(Z= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text e^{\frac{5i\pi}{12}}\) .

On en déduit qu'alors \(\begin{align*}Z= \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right).\end{align*}\)

2. On a donc
\(\begin{align*}Z= \frac{-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8} + i \frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\frac{5\pi}{12}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \sin\frac{5\pi}{12}.\end{align*}\)

Par unicité de la forme algébrique, on a :

\(\dfrac{-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos\dfrac{5\pi}{12}\)  et  \(\dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin\dfrac{5\pi}{12}\)

donc  \(\cos\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}}\)  et  \(\sin\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{8} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}}\) .

Finalement, on trouve \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)  et  \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) .

3. On a, pour tout réel  \(x\)  
\(\begin{align*}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cos(x)-(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin(x)=-2\sqrt{3}& \Longleftrightarrow4 \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos(x)-4\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)\sin(x)=-2\sqrt{3}\\& \Longleftrightarrow\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos(x)-\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)\sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\& \Longleftrightarrow\cos\left(\frac{5\pi}{12}+x\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}= \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\\& \Longleftrightarrow\frac{5\pi}{12}+x \equiv \frac{5\pi}{6} \ [2\pi]\text{ ou }\frac{5\pi}{12}+x \equiv -\frac{5\pi}{6} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow x \equiv \frac{5\pi}{6}-\frac{5\pi}{12} \ [2\pi]\text{ ou }x \equiv -\frac{5\pi}{6}-\frac{5\pi}{12} \ [2\pi]\\& \Longleftrightarrow x \equiv \frac{5\pi}{12} \ [2\pi]\text{ ou }x \equiv -\frac{15\pi}{12} \ [2\pi] \\& \Longleftrightarrow x \equiv \frac{5\pi}{12} \ [2\pi]\text{ ou }x \equiv -\frac{5\pi}{4} \ [2\pi]\end{align*}\)

donc \(S=\left\lbrace \dfrac{5\pi}{12}+2k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace \cup \left\lbrace -\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .